문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 상대론적 전자기학 (문단 편집) === 진공해 === 진공([math(J^{\mu} = 0)])에서 맥스웰 방정식 ||<:> [math(\displaystyle \partial^{\mu}\partial_{\mu}A^{\nu} = 0)] || 은 파동 해를 갖는다. 즉 [math(A^{\mu} = C^{\mu}e^{iS})]라 둘 수 있다. 이 때 [math(S)]는 파동의 위상(phase)이고, [math(C^{\mu})]는 각 점에서 [math(A^{\mu})]에 나란한 상수 벡터이다. 이를 맥스웰 방정식 및 로런츠 게이지에 대입하면 ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} i[\partial^{\mu}\partial_{\mu}S + i\partial^{\mu}S\partial_{\mu}S]A^{\nu} &= 0 \\ iC^{\mu}e^{iS}\partial_{\mu}S &= 0 \end{aligned})] || 으로부터 ||<:> [math(\begin{aligned} \partial^{\mu}\partial_{\mu}S = \partial_{\mu}S\partial^{\mu}S &= 0 \\ C_{\mu}\partial^{\mu}S &= 0 \end{aligned})] || 를 각각 얻는다. 여기에서 [math(k_{\mu} = \partial_{\mu}S)]를 파동 벡터(wave vector)라 정의한다. [math(k^{\mu})]는 [math(S)]가 상수인 곡면(surface)들에 수직이다. [math(\partial_{\mu}S\partial^{\mu}S = 0)]으로부터, ||<:> [math(\displaystyle k_{\mu}k^{\mu} = 0)] || 이므로 [math(k^{\mu})]는 null 벡터이며, 진공에서 이 곡면들은 null 벡터에 수직임을 알 수 있다. 이러한 곡면을 null hypersurface라 부른다. 이 파동은 빛의 속력으로 나아간다. [math(\partial_{\mu}S\partial^{\mu}S = 0)]을 다시 미분하면 ||<:> [math(\displaystyle \begin{aligned} 0 &= \partial_{\nu}(\partial_{\mu}S\partial^{\mu}S) \\ &= 2(\partial^{\mu}S)(\partial_{\nu}\partial_{\mu}S) \\ &= 2(\partial^{\mu}S)(\partial_{\mu}\partial_{\nu}S) \\ &= 2k^{\mu}\partial_{\mu}k_{\nu} \end{aligned})] || 임을 알 수 있다. 이로부터, [math(k^{\mu})]의 적분 곡선은 null geodesics임을 알 수 있다. 따라서, 광학적으로 광선(light ray)은 null geodesics로 간주할 수 있다. 또한, 파동의 진동수는 특정 관찰자의 속도를 [math(u^{\mu})]라 하면 다음과 같이 구할 수 있다. ||<:> [math(\omega = k_{\mu}u^{\mu})] || 한편, [math(k^{\mu})]를 상수 벡터장이라 두어 [math(k^{\mu} = (\omega,\, k_x,\, k_y,\, k_z))]라 설정할 수 있다. (국소적으로는 언제나 이와 같이 해석할 수 있다.) 이 때, [math(k_{\mu} = \partial_{\mu}S = (\omega,\, -k_x,\, -k_y,\, -k_z))]로부터 ||<:> [math(\begin{aligned} S &= k_{\mu}x^{\mu} \\&= \omega t -(k_xx + k_yy +k_zz) \\ &= \omega t - \bold{k\boldsymbol{\cdot} x} \end{aligned})] || 를 얻는다. 여기에서 [math(\bold k = (k_1,\, k_2,\, k_3))], [math(\bold x = (x,\, y,\, z))]라 두었다. 따라서, 파동 해는 ||<:> [math(\displaystyle A^{\mu} = C^{\mu}e^{i(\omega t - \bold{k\boldsymbol{\cdot} x})})] || 라 정리할 수 있다. 이것을 평면파(plane wave) 해라고 하며, 푸리에 해석에 따르면 공간 상의 영역을 나아가면서 [math(k_{\mu})]의 변화가 충분히 작아졌다면 해는 일반적으로 평면파의 중첩으로 표현할 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기